La semaine dernière, j'ai posé le petit problème suivant sur discord : calculer la quantité $$5000000 \frac{h \alpha}{c e^2}$$ où $h$ est la constante de Planck, $c$ la vitesse de la lumière dans le vide, $e$ la charge de l'électron, et $\alpha$ la constante de structure fine. On veut le résultat dans le système international d'unités (SI), et on demande de commenter la valeur obtenue.

Il n'est pas difficile de faire l'application numérique : on trouve $$5000000 \frac{h \alpha}{c e^2} = 3,14159265 \, \textrm{m}.\textrm{kg}.\textrm{s}^{-2}.\textrm{A}^{-2} \, . $$ On reconnaît évidemment le nombre $\pi$. Mais cette valeur est-elle exacte ? Et cette question de l'exactitude d'une constante physique a-t-elle un sens ?

En fait, il se trouve que la quantité ci-dessus est, à une constante entière près, égale à la perméabilité magnétique du vide $\mu_0$, et c'est cette grandeur qui sert à définir l'ampère. Plus précisément, la seconde, le mètre et le kilogramme ayant été définis préalablement, on définit l'ampère par la relation $$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, \textrm{m}.\textrm{kg}.\textrm{s}^{-2}.\textrm{A}^{-2} \, . $$ Et comme par définition de la constante de structure fine, $\mu_0 = \frac{2 h \alpha}{c e^2}$, on obtient bien $$5000000 \frac{h \alpha}{c e^2} = \pi \, \textrm{m}.\textrm{kg}.\textrm{s}^{-2}.\textrm{A}^{-2} \, . $$ C'est une valeur exacte.

Il faut noter que dans le SI, ni la constante de Planck $h$, ni la charge de l'électron $e$, ni la constante de structure fine $\alpha$ ne sont définies comme des valeurs exactes. Toutes dépendent d'expériences réalisées pour les déterminer, dans un système d'unités donné à l'avance par d'autres définitions (la vitesse de la lumière, elle, est définie exactement, $c=299792458 \, \textrm{m}.\textrm{s}^{-1}$). Il est amusant de voir que ces incertitudes "conspirent" pour donner une valeur exacte (même si évidemment, il n'y a rien de remarquable à cela : par exemple la constante de structure fine $\alpha$ conspire également avec $\pi - \alpha$ pour donner une somme égale à $\pi$).

Ce qui est plus amusant est de remarquer que cet état de fait va bientôt changer. En effet, prochainement la définition des unités SI devrait être modifiée (voir par exemple cet article Wikipedia). La définition de la seconde n'est pas modifiée, celle du mètre non plus (ainsi la valeur exacte de $c$ perdure), mais les définitions du kilogramme et de l'ampère se feront en termes de $h$ et $e$ respectivement. Autrement dit, ces deux valeurs seront alors parfaitement exactes dans le nouveau système SI. En revanche, $\mu_0$ perdra son statut de constante exacte. Il est amusant de voir que dans le rapport $\frac{h \alpha}{c e^2}$, on passera donc de une à trois constantes exactes, mais que sa valeur cessera d'être exacte.

Bref, ce petit calcul était l'occasion de mentionner cette prochaine modification des définitions du SI (voir aussi sur le blog de David Madore ici) et de susciter la réflexion sur ce que signifie être exact pour une grandeur physique.