Quelle est la plus grande aire que l'on peut délimiter dans le plan en utilisant une courbe de longueur 1 ? La réponse est "naturellement" le cercle. Mais comment le démontrer ? Voici une preuve, fortement inspirée de ce document.

Considérons une courbe plane fermée de classe $C^1$ et de longueur $1$, paramétrée par sa longueur d'arc, $$\gamma : \mathbb{R}/\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{C} \qquad \textrm{avec} \qquad \forall t \in \mathbb{R}/\mathbb{Z}, \, |\gamma ' (t)| = 1 \, . $$ Pour simplifier, on suppose que la courbe ne s'auto-intersecte pas. Pour calculer l'aire circonscrite par cette courbe on peut utiliser la jolie formule de Stokes, $$\int_{\partial \Omega} \omega = \int_{\Omega} \mathrm{d} \omega$$ où ici $\Omega$ désigne la partie du plan circonscrite par la courbe, qui est donc $\partial \Omega$, et $\omega$ est une 1-forme. On veut que $\mathrm{d} \omega$ soit la forme volume $\mathrm{d} \omega = \mathrm{d} x \wedge \mathrm{d} y$, donc on choisit par exemple $\omega = \frac{1}{2}(x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x)$. Par conséquent, l'aire délimitée par la courbe vaut $$A = \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} (x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x) = \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} (x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x) = \frac{1}{2} \mathrm{Im} \int \gamma '(t) \overline{\gamma (t)} \mathrm{d} t \, . $$ On peut calculer ceci en utilisant les coefficients de Fourier de $\gamma$ et $\gamma'$, donnés par $$c_n = \int e^{- 2 i \pi n t } \gamma(t) \mathrm{d} t \qquad \textrm{et} \qquad c'_n = 2 i \pi n c_n \, . $$ On obtient $$A = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \pi n |c_n|^2 \, . $$ D'autre part, la longueur de la courbe vaut (en utilisant $1=|\gamma'| = |\gamma'|^2$) $$1 = \int |\gamma'(t)|^2 \mathrm{d} t = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} 4 \pi^2 n^2 |c_n|^2 \, . $$ On en déduit que $$A = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \pi n |c_n|^2 \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \pi n^2 |c_n|^2 = \frac{1}{4 \pi} \, , $$ avec égalité si et seulement si les seuls coefficients de Fourier non nuls sont $c_0$ et $c_1$, auquel cas $$\gamma (t) = c_0 + c_1 e^{2 \pi i t} $$ correspond à un cercle, avec $1 = 4 \pi^2 |c_0|^2$, autrement dit un cercle de rayon $\frac{1}{2 \pi}$, qui a bien pour périmètre $1$ et pour aire $\frac{1}{4 \pi}$. L'inégalité isopérimétrique est démontrée.